Systèmes d’équations linéaires : résolution par différentes méthodes

Les systèmes d’équations linéaires sont au cœur des mathématiques appliquées et trouvent des applications dans plusieurs domaines tels que l’économie, la physique et l’ingénierie. Comprendre comment les résoudre est essentiel pour résoudre différents problèmes complexes qui se présentent dans ces disciplines. Cet article explore plusieurs techniques de résolution de systèmes d’équations linéaires.

Définition des systèmes d’équations linéaires

Un système d’équations linéaires est un ensemble de deux ou plusieurs équations où chaque équation est une droite, et l’objectif est de trouver le point de rencontre de ces droites (c’est-à-dire donner les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations simultanément). Par exemple :

2x + 3y = 12
4x -  y =  5

Il existe différentes méthodes pour résoudre de tels systèmes. Ces méthodes comprennent la substitution, l’élimination et l’utilisation des matrices, chacune ayant ses avantages spécifiques selon le type de problème rencontré.

Pour approfondir vos connaissances sur les maths, vous pouvez en savoir plus sur les maths.

Méthodes de résolution des systèmes d’équations linéaires

Méthode de substitution

La méthode de substitution consiste à résoudre une des équations pour une variable, puis à substituer cette valeur dans l’autre équation. Cela simplifie systématiquement le système en une seule équation avec une seule inconnue.

Par exemple, considérons le système suivant :

x + y = 11
x - y =  3

Nous devons d’abord résoudre l’une des équations pour une des variables. Disons que nous résolvons la première équation pour x :

x = 11 - y

Ensuite, nous substituons cette expression pour x dans l’autre équation :

(11 - y) - y = 3 
11 - 2y = 3 
-2y = -8 
y = 4

Avec la valeur trouvée de y, substituons-la dans l’équation x = 11 – y :

x = 11 - 4 
x = 7

Donc, les valeurs de x et y qui satisfont ce système sont x = 7 et y = 4.

Méthode de l’élimination (ou réduction)

La méthode de l’élimination, comme son nom l’indique, implique l’élimination d’une des variables en combinant les deux équations de manière à supprimer cette variable. Cela permet de traiter une équation avec une seule variable restante.

Observons le même système d’avant :

x + y = 11
x - y =  3

Pour éliminer y, nous pouvons additionner ces deux équations :

(x + y) + (x - y) = 11 + 3 
2x = 14
x = 7

Avec la valeur de x, substituons-la dans une des équations d’origine pour trouver y :

7 + y = 11 
y = 4

Encore une fois, les solutions du système sont x = 7 et y = 4. Cette méthode est particulièrement pratique lorsque les coefficients permettent une élimination facile.

Méthode des matrices

L’utilisation des matrices pour résoudre les systèmes d’équations linéaires repose sur la manipulation algébrique des matrices. L’une des approches les plus couramment utilisées est celle des matrices inverses. Transformons notre système d’exemple en forme matricielle :

[1   1] [x] = [11]
[1  -1] [y] =  [3]

Nous posons A comme matrice des coefficients, X comme vecteur des variables, et B comme vecteur des constantes :

A * X = B

Pour obtenir X, multiplions les deux côtés de l’équation par l’inverse de A :

X = A^(-1) * B

Calculons l’inverse de A si elle est non singulière :

A^(-1) = 1 / Det(A) * ([d   -b]
                         [-c    a])
       = 1 / [(1*(-1)) - (1*1)] * ([-1  -1]
                                   [-1   1])
       = 1 / -2 * ([-1  -1]
                   [-1   1])
       = ([1/2 1/2]
          [1/2 -1/2])

Puis multiplions cela par notre vecteur B :

X = ([1/2  1/2]
     [1/2 -1/2]) * ( [11]
                     [ 3])
X = ([1/2 * 11 + 1/2 * 3]
     [1/2 * 11 - 1/2 * 3])
  = ( [7]
      [4])

Ainsi, notre solution est toujours x = 7 et y = 4. Bien que cela puisse sembler complexe, cette méthode est très puissante, surtout pour les systèmes comportant plus de deux variables.

Exercices sur les systèmes d’équations linéaires

Pour mieux comprendre et appliquer ces méthodes, il est utile de pratiquer différentes combinaisons d’équations. Voici quelques exercices :

• Exercice 1 : Résoudre le système suivant par la méthode de substitution :
  2x + 3y = 16
  4x – y = 5
  
• Exercice 2 : Utiliser la méthode de l’élimination pour résoudre :
  3x – 2y = 4
  5x + y = 13
  
• Exercice 3 : Résoudre par la méthode des matrices :
  x + 2y + z = 2
  2x – 3y + 2z = -5
  x + y + z = 1
  

Ces exercices couvrent divers aspects de la résolution des systèmes d’équations linéaires et offrent une approche pratique au lieu de théories purement académiques.