Physical Address
304 North Cardinal St.
Dorchester Center, MA 02124
Les identités remarquables sont des outils puissants en mathématiques, particulièrement utiles pour les élèves de 3e. Elles sont essentielles pour simplifier et résoudre diverses expressions algébriques. Dans cet article, nous explorerons les principales identités remarquables, leur application en algèbre et quelques exemples pratiques de problèmes et solutions impliquant ces formules précieuses.
Sommaire
Les principales identités remarquables
Les identités remarquables sont des égalités qui se vérifient pour toutes les valeurs des variables concernées. Voici une liste des trois principales identités que chaque élève doit connaître :
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
- a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Prenons le temps d’explorer chacune de ces égalités en détail et comment elles peuvent être appliquées dans différents contextes mathématiques.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cette identité est souvent utilisée pour développer le carré d’une somme. Par exemple, pour développer (x + 3)2, on applique directement la formule :
(x + 3)2 = x2 + 2 * x * 3 + 32 = x2 + 6x + 9.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
L’identité du carré de la différence fonctionne de manière similaire à la précédente mais concerne une soustraction. Prenons l’exemple de (y – 4)2 :
(y – 4)2 = y2 – 2 * y * 4 + 42 = y2 – 8y + 16.
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
Cette formule s’applique au produit-somme des carrés. Elle permet généralement de factoriser plus facilement certaines expressions. Par exemple, pour factoriser x2 – 16 :
x2 – 16 = (x + 4)(x – 4).
Applications des identités remarquables en algèbre
Les identités remarquables trouvent leurs applications dans divers domaines de l’algèbre grâce à leur capacité à simplifier et à transformer des expressions compliquées en formes plus maniables. Ces propriétés sont exploitées non seulement lors des calculs scolaires, mais également dans des contextes plus avancés comme le développement, la réduction d’expressions ou même la résolution d’équations complexes. Par ailleurs, pour ceux souhaitant approfondir leurs connaissances, les ressources éducatives en maths offrent une avalanche de contenus pédagogiques très complets sur ces identités.
Systèmes d’équations et inégalités
Les identités remarquables sont fréquemment utilisées pour simplifier les systèmes d’équations, permettant ainsi une résolution plus rapide et efficace. Par exemple, considérons le système suivant :
x + y = 10 et x2 + y2 = 58.
On peut utiliser la première identité remarquable pour élucider cette équation. En effet :
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2 se traduit par :
100 = 58 + 2xy soit 2xy = 42 et xy = 21.
Ce type de manipulation rend la solution beaucoup plus accessible.
Problèmes et solutions impliquant des identités remarquables
Pour bien maîtriser les identités remarquables et leurs multiples applications, rien ne vaut la résolution de divers problèmes pratiques. Voici quelques exemples détaillés :
Développement d’expressions
Considérons le problème suivant : développez (2x + 5)2.
En utilisant notre identité du développement du carré d’une somme, voici la transformation :
(2x + 5)2 = 4x2 + 20x + 25.
Maintenant, si nous avions une expression composée de termes cubiques et quartiques, cette opération deviendrait encore plus bénéfique.
Factorisation d’expressions
Supposons qu’on nous demande de factoriser la décomposition suivante : 49 – z2.
Cette expression peut sembler complexe à première vue, mais grâce à l’identité déjà citée :
49 – z2 = (7 + z)(7 – z).
Nous avons ainsi transformé une forme quadratique en un produit de deux binômes, rendant toute nouvelle manipulation plus aisée.
Calcul rapide de produits notables
Lorsque leurs chiffres sont proches de dizaines rondes, les identités permettent aussi de simplifier certains développements numériques. Par exemple :
Calculons en utilisant une identité remarquable les carrés de nombres voisins de 10, tels que : 112 :
112 = (10 + 1)2 = 100 + 20 + 1 = 121.
Ou encore : 92 :
92 = (10 – 1)2 = 100 – 20 + 1 = 81.