Tout savoir sur les équations du second degré : résolution et applications

Les équations du second degré, également connues sous le nom d’équations quadratiques, jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines des mathématiques et de la science. Ce type d’équation apparaît fréquemment dans divers problèmes pratiques, notamment en physique, en économie et en ingénierie. Dans cet article, nous allons explorer les différentes méthodes de résolution des équations du second degré et leurs applications.

Définition et formes des équations du second degré

Une équation du second degré est une équation polynomiale de la forme générale ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des coefficients réels, et a ≠ 0. Ces équations peuvent être représentées sous diverses formes, chacune ayant ses particularités pour la résolution.

Forme générale

La forme générale d’une équation du second degré s’écrit :

ax² + bx + c = 0

Ici, ‘a’ est le coefficient du terme x², ‘b’ est le coefficient du terme x, et ‘c’ est le terme constant. Cette forme est particulièrement utile pour appliquer la formule quadratique ou utiliser la méthode du discriminant.

Forme canonique

La forme canonique d’une équation du second degré permet d’obtenir directement les coordonnées du sommet de la parabole représentée par l’équation. Elle s’écrit :

a(x – h)² + k = 0

où (h, k) sont les coordonnées du sommet de la parabole. Convertir une équation de sa forme générale à sa forme canonique peut simplifier grandement certains types de résolutions.

Forme factorisée

La forme factorisée s’écrit quant à elle sous la forme :

a(x – x₁)(x – x₂) = 0

où x₁ et x₂ représentent les racines de l’équation. Cette forme est particulièrement utile quand on connaît déjà les solutions, ou lorsque l’on souhaite effectuer une factorisation directe.

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Méthodes de résolution des équations quadratiques

Utiliser la formule quadratique

La méthode la plus célèbre pour résoudre une équation du second degré est d’utiliser la formule quadratique. La formule suivante permet de trouver les racines de l’équation ax² + bx + c = 0 :

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Pour comprendre cette formule, il faut analyser chaque partie :

• -b : C’est le négatif du coefficient linéaire.
• ± : Indique qu’il y a potentiellement deux solutions, une ajoutant la racine carrée et l’autre la soustrayant.
• √(b² – 4ac) : Connu comme le discriminant, il détermine la nature des racines.
• 2a : Divise-le tout par deux fois le coefficient principal.

Comprendre le discriminant

Le discriminant Δ est la partie déterminante de la formule quadratique : Δ = b² – 4ac. La valeur de Δ fournit des informations essentielles sur la nature des racines :

1. Si Δ > 0, l’équation a deux racines réelles et distinctes.
2. Si Δ = 0, l’équation a une racine réelle double.
3. Si Δ < 0, l’équation a deux racines complexes conjuguées.

La méthode de complétion du carré

Compléter le carré consiste à transformer l’équation ax² + bx + c = 0 en une forme qui met en évidence le carré parfait. Voici comment procéder :

• Diviser tous les termes par ‘a’ : x² + (b/a)x + c/a = 0
• Ajouter et soustraire (b/2a)² : x² + (b/a)x + (b/2a)² – (b/2a)² + c/a = 0
• Cette transformation permet de mettre en forme (x + b/2a)² = (b/2a)² – c/a
• En extrayant la racine carrée des deux côtés, nous obtenons : x + b/2a = ± √((b² – 4ac) / 4a²)
• Finalement, isoler x donne les solutions.

Factorisation

La méthode de factorisation consiste à exprimer l’équation sous forme produit de binômes. Par exemple, si nous avons une équation simple telle que x² – 5x + 6 = 0, elle se factorise comme suit :

(x – 2)(x – 3) = 0

Les solutions sont alors directement évidentes : x = 2 et x = 3.

Exercices sur les équations du second degré

Exercice 1 : Résolution avec la formule quadratique

Résoudre l’équation quadratique suivante en utilisant la formule quadratique  : 2x² – 4x – 6 = 0

Solve for x  :

Using the quadratic formula  : x = [-(-4) ± √((-4)² – 4 × 2 × (-6))] / 2 × 2

Cela se simplifie  : x = [4 ± √(16 + 48)] / 4

Ce qui donne  : x = [4 ± √64] / 4 –> x = (4 ± 8) / 4

Ainsi, les solutions sont x = 3 ou x = -1

Exercice 2 : Analyse du discriminant

Considérons l’équation suivante : x² + 4x + 4 = 0

Calculons le discriminant Δ :

Δ = b² – 4ac

Dans ce cas, a = 1, b = 4, et c = 4

Δ = 4² – 4×1×4 = 16 – 16 = 0

Puisque Δ = 0, cette équation a une racine double que nous pouvons calculer ainsi :

x = -b/(2a) –> x = -4/(2*1) = -2

Donc, la solution unique est x = -2

Exercice 3 : Compléter le carré

Résolvons l’équation x² – 6x + 9 = 0 par la méthode de complétion du carré.

Nous commençons par écrire l’équation sous une forme modifiable :

• Observer que x² – 6x + 9 peut être écrit comme (x – 3)²
• Ainsi, l’équation devient (x – 3)² = 0
• La solution est donc : x = 3

Exercice 4 : Factorisation

Résolvons x² – x – 12 = 0 par factorisation.

Cherchons deux nombres dont le produit est -12 et la somme est -1.

• -4 et 3 conviennent car (-4) * 3 = -12 et (-4) + 3 = -1
• L’équation se factorise donc ainsi : (x – 4)(x + 3) = 0
• Les solutions sont donc : x = 4 et x = -3

Applications des équations du second degré

Les équations du second degré trouvent de nombreuses applications dans divers domaines scientifiques et techniques.

Physique

Elles apparaissent naturellement lorsqu’on modélise des phénomènes physiques tels que la trajectoire parabolique des objets en chute libre sous l’effet de la gravité ou les champs électriques autour de charges ponctuelles. Par exemple, la formule de déplacement d’un projectile en mouvement sous influence gravitationnelle tient compte d’équations quadratiques pour prédire précisément la distance parcourue.

Économie

En économie, les fonctions polynômes de degré deux permettent de modéliser les coûts et les profits maximaux. Les entreprises utilisent ces modèles pour déterminer le point optimal de production afin de maximiser les bénéfices ou minimiser les coûts liés à leur activité.

Ingénierie

Dans le domaine de l’ingénierie, résoudre des circuits électriques complexes ou étudier la résistance des matériaux requièrent souvent de manipuler des équations du second degré. Par exemple, les équations structurelles pour les poutres courbées sous charge utilisent des trinomiaux pour déterminer la distribution de tensions et déformations.

Autres domaines

Bien sûr, ce ne sont là que quelques exemples. En réalité, presque toutes les disciplines scientifiques exploitent les équations du second degré étant donné leur importance fondamentale et leur capacité à modéliser efficacement les réalités du monde naturel et artificiel.